Question

如圖，將邊長為5+

2

的正方形，剪去陰影部分后，得到圓錐的側(cè)面和底面的展開圖，則圓錐的體積是（　�。�

• A、

  2 30

  3

  π
• B、

  2 6

  3

  π
• C、

  30

  3

  π
• D、

  60

  3

  π

Answer 1

分析：設(shè)圓錐底面圓的半徑是r，母線為l，根據(jù)直線與圓相切、圓與圓相切的性質(zhì)，結(jié)合正方形的邊長為5+

2

得到l+（1+

2

）r=5

2

+2．再由扇形的弧長正好等于底面圓的周長，算出l=4r，從而解出r=

2

，進(jìn)而可得此圓錐的體積．

解答：解：根據(jù)題意，欲在正方形內(nèi)剪去陰影部分后裁剪出圓錐的底面，
則圓錐的底面圓與正方形的邊和以A為中心角的扇形的弧都相切，
設(shè)此時(shí)圓的圓心為M，與BC邊相切于點(diǎn)N，設(shè)圓錐底面圓的半徑是r，母線為l，
可得AC=AM+CM=5

2

+2，即l+（1+

2

）r=5

2

+2，
∵扇形的弧長正好等于底面圓的周長，即

1

4

πl(wèi)=2πr，解之得l=4r，
∴兩式聯(lián)解可得r=

2

，
由此可得l=4

2

，圓錐的高h(yuǎn)=

l2-r2

=

30

，
圓錐的體積V=

1

3

πr2h=

1

3

π×(

2

)2×

30

=

2 30

3

π．
故選：A

點(diǎn)評：本題將正方形裁剪出圓錐的平面展開圖形，求該圓錐的體積．著重考查了正方形的性質(zhì)、圓錐的側(cè)面展開圖、直線與圓相切的性質(zhì)和圓與圓相切的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．