Question

已知橢圓上一點M(1，)，P、Q是橢圓上異于M的兩個動點．

(1)若P、M、Q到橢圓左焦點F₁的距離成等差數(shù)列，求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點A；

(2)若PQ為過左焦點F₁且與兩軸都不垂直的弦，在x軸上求一點N，使NF₁為∠PNQ的平分線．

Answer 1

解:(1)設(shè)P(x₁,y₁),O(x₂,y₂),橢圓中a=2,b=,c=,e=.

∵|PF₁|=2+x₁,|MF₁|=2+,|QF₁|=2+x₂,依題意,2|MF₁|=|PF₁|+|QF₁|,

∴x₁+x₂=2,設(shè)PQ中點為C(x₀,y₀),

線段PQ的垂直平分線為l,則

x₀=,

∵

+y₀(y₁-y₂)=0

∵y₀≠0,∴k_PQ=,∵PQ⊥l,∴k_l=2y₀,

∴l(xiāng)的方程是y-y₀=2y₀(x-1),即

y=y₀(2x-1),∴直線過定點(,0).

(2)設(shè)N(x₀,0),PQ的方程為x=my-代入中整理得:

(m²+2)y²-2my-2=0,設(shè)P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),則

又NF₁為∠PNQ的平分線,∴K_NP+K_NQ=0

即,

y₁(x₂-x₀)+y₂(x₁-x₀)=0,y₁x₂+y2x₁-x₀(y₁+y₂)=0,

y₁(my₂-)+y₂(my₁-)-x₀(y₁+y₂)=0,

2m()-(x₀+)=0,

∴x₀=-2,故N(-2,0).