Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₄，S₂，S₃成等差數(shù)列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)n，使得S_n≥2013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意，列出關(guān)于其首項(xiàng)a₁與公辦q的方程組，解之即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）依題意，可求得1-（-2）ⁿ≥2013，對n的奇偶性分類討論，即可求得答案．
解答：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，顯然q≠1，由題意得，解得q=-2，a₃=12，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₃•q^n-3=12×（-2）^n-3=（-）×（-2）ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有a_n=（-）×（-2）ⁿ．若存在正整數(shù)n，使得S_n≥2013，則S_n==1-（-2）ⁿ，即1-（-2）ⁿ≥2013，
當(dāng)n為偶數(shù)時，2ⁿ≤-2012，上式不成立；
當(dāng)n為奇數(shù)時，1+2ⁿ≥2013，即2ⁿ≥2012，則n≥11．
綜上，存在符合條件的正整數(shù)n=2k+1（k≥5），且所有這樣的n的集合為{n|n=2k+1（k≥5）}．
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的求和，考查分類討論思想與方程思想，考查綜合分析與推理運(yùn)算能力，屬于難題．