Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-

3

sin²x+2sin（x+

π

3

）cosx．
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的遞減區(qū)間；
（3）說明f（x）的圖象可由y=sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用查三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

3

），可得它的周期．
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosx-

3

sin²x+2sin（x+

π

3

）cosx
=sinxcosx-

3

sin²x+2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）cosx=2sinxcosx+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
故函數(shù)的周期為T=

2π

2

=π．
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
（3）由y=sin2x的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位可得函數(shù)y=sin2（x+

π

6

）=sin（2x+

π

3

）的圖象，
再把所得圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性，正弦函數(shù)的減區(qū)間、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．