Question

【題目】已知拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)于這個(gè)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為

（1）寫(xiě)出拋物線C的方程；

（2）過(guò)F點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB重心G的軌跡方程；

（3）點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N.當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線方程為： ；（2） ；（3）P（2，±2），|MN|取最小值.

【解析】試題分析：

(1)由直線方程可得拋物線方程為；

(2)利用重心坐標(biāo)公式消去參數(shù)可得軌跡方程為： ；

(3)利用圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得滿足題意時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，±2），且|MN|取最小值.

試題解析：

（1）拋物線方程為： .

（2）①當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為，代入，

得：

設(shè)，則， 設(shè)△AOB的重心為則，

消去k得為所求，

②當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，

△AOB的重心也滿足上述方程.

綜合①②得，所求的軌跡方程為

（3）設(shè)已知圓的圓心為Q（3，0），半徑，

根據(jù)圓的性質(zhì)有： 當(dāng)|PQ|2最小時(shí)，|MN|取最小值，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則

∴當(dāng)， 時(shí)， 取最小值5，

故當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，±2）時(shí)，|MN|取最小值.