Question

8．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面BCC₁B₁是菱形，D為A₁C₁的中點(diǎn)，B₁C⊥A₁B．
（Ⅰ）求證：平面AB₁C垂直平面A₁BC₁；
（Ⅱ）求證：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB₁=B₁C=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出B₁C⊥BC₁，B₁C⊥A₁B，從而B₁C⊥平面A₁BC₁，由此能證明平面AB₁C垂直平面A₁BC₁．
（Ⅱ）設(shè)BC₁∩B₁C于點(diǎn)E，連DE，推導(dǎo)出DE∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面B₁CD．
（Ⅲ）側(cè)面BAA₁B₁和側(cè)面BCC₁B₁是兩個(gè)全等的菱形，側(cè)面ACC₁A₁是一個(gè)正方形，由此能求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積．

解答 證明：（Ⅰ）∵側(cè)面BCC₁B₁是菱形，∴B₁C⊥BC₁，
∵B₁C⊥A₁B，且A₁B∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面A₁BC₁，
∵B₁C?平面AB₁C，∴平面AB₁C垂直平面A₁BC₁．
（Ⅱ）設(shè)BC₁∩B₁C于點(diǎn)E，連DE，∵在△A₁BC₁中，D為A₁C₁的中點(diǎn)，E為BC₁的中點(diǎn)，
∴DE∥A₁B，
∵DE?平面B₁CD，A₁B?平面B₁CD，
∴A₁B∥平面B₁CD．
解：（Ⅲ）依題意，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
兩底面是邊長為2的正三角形，面積均為$\sqrt{3}$，
側(cè)面BAA₁B₁和側(cè)面BCC₁B₁是兩個(gè)全等的菱形，面積均為2$\sqrt{3}$，
側(cè)面ACC₁A₁是一個(gè)正方形，面積為4，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積為$6\sqrt{3}+4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查三棱柱的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．