Question

某企業(yè)投資1千萬元于一個高科技項目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年年底需要從利潤中取出資金200萬元進行技術(shù)改造與廣告投入，其余資金全部投入再生產(chǎn)方能保持原有的利潤增長率．問經(jīng)過多少年，該項目的資金（扣除最后一年的技術(shù)改造與廣告投入資金）可以達到或超過翻兩番的目的？（lg2≈0.3）

Answer 1

分析：可由題意找到每年利潤所構(gòu)成的數(shù)列的遞推公式為 a_n=a_n-1（1+25%）-200（n≥2）⇒an=

5

4

an-1-200
解法一：是構(gòu)造新數(shù)列使其為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列通項公式求出新數(shù)列的通項，最后轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)列{a_n } 的通項公式．
解法二：是采用迭代法，根據(jù)遞推公式，一層層往下推，即用含a_n-1的式子表示a_n，含a_n-2的式子表示a_n-1含a_n-3的式子表示a_n-2…，直到推到a₁，就可求出{a_n } 的通項公式．

解答：解：解法一：設(shè)第n年終資金為a_n萬元，由題意可得an=an-1(1+25%)-200(n≥2)⇒an=

5

4

an-1-200，變形整理可得：an-800=

5

4

(an-1-800)，故{a_n-800}構(gòu)成一個等比數(shù)列，a₁=1000（1+25%）-200=1050，⇒a₁-800=250，故an-800=250(

5

4

)n-1⇒an=250(

5

4

)n-1+800=200×(

5

4

)n+800，
令a_n≥4000，得(

5

4

)n≥16，兩邊取對數(shù)可得：nlg

5

4

≥lg16⇒n≥

4lg2

lg5-2lg2

=

4lg2

1-3lg2

≈12，
故至少要12年才能達到目標(biāo)．
解法二：此題在求通項公式時，也可采用迭代法，
如下：an=

5

4

an-1-200=

5

4

(

5

4

an-2-200)-200=…=1000×(

5

4

)n-200×[(

5

4

)n-1+(

5

4

)n-2+…+1]
=200×(

5

4

)n+800；
其余同解法一

點評：本題考查了用數(shù)列只是解決實際問題，關(guān)鍵點是如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題．