Question

已知橢圓的離心率為，過右頂點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓和直線的方程；

（2）記曲線在直線下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．若曲線與有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的最小值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

【解】（1）由離心率，得，即.    ①

又點(diǎn)在橢圓上，即.     ②

解 ①②得，

故所求橢圓方程為.          …………………6分

由得直線l的方程為. ………8分

（2）曲線，

即圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑，表示圓心在直線

上，半徑為的動(dòng)圓.                                 ………………… 10分

由于要求實(shí)數(shù)m的最小值，由圖可知，只須考慮的情形.

設(shè)與直線l相切于點(diǎn)T，則由，得，

當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)與直線l垂直的直線的方程為，

解方程組得.                       ………………… 14分

因?yàn)閰^(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為， 

所以切點(diǎn)，由圖可知當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，m取得最小值，即，

解得.                                      ………………… 16分

（說明：若不說理由，直接由圓過點(diǎn)B時(shí)，求得m的最小值，扣4分）

【解析】略