Question

20．函數f（x）的定義域為D，若滿足：①f（x）在D內是單調函數；　②若存在[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱函數f（x）為“成功函數”．若函數f（x）=log_c（c^4x+3t）（c＞0，c≠1）是“成功函數”，則t的取值范圍為（0，$\frac{1}{12}$）．

Answer 1

分析 根據復合函數的單調性，先判斷函數f（x）的單調性，然后根據條件建立方程組，轉化為一元二次方程根的存在問題即可得到結論．

解答 解：若c＞1，則函數y=c^4x+3t為增函數，y=log_cx，為增函數，∴函數f（x）=log_c（c^4x+3t）為增函數，
若0＜c＜1，則函數y=c^4x+3t為減函數，y=log_cx，為減函數，∴函數f（x）=log_c（c^4x+3t）為增函數，
綜上：函數f（x）=log_c（c^4x+3t）為增函數．
若函數f（x）=log_c（c^4x+3t）（c＞0，c≠1）是“成功函數”，則
$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=2a}\\{f（b）=2b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（{c}^{2a}）^{2}-{c}^{2a}+3t=0}\\{（{c}^{2b}）^{2}-{c}^{2b}+3t=0}\end{array}\right.$，
即c^2a，c^2b是方程x²-x+3t=0上的兩個不同的正根，
則$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-12t＞0}\\{3t＞0}\end{array}\right.$，解得0＜t＜$\frac{1}{12}$．
故答案為：（0，$\frac{1}{12}$）．

點評 本題考查函數的值域，主要考查指數函數和對數函數的運算性質，判斷函數的單調性是解決本題的關鍵，是中檔題．