Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC，3b=2a，2≤a²+ac≤18，設(shè)△ABC的面積為S，p=$\sqrt{2}$a-S，則p的最小值是（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{2}}{9}$
• B． $\frac{7\sqrt{2}}{9}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{9\sqrt{2}}{8}$

Answer 1

分析 由條件利用正弦定理求得c=a，b=$\frac{2a}{3}$，1≤a≤3，再利用余弦定理求得cosB的值，可得sinB 的值，從而△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$•ac•sinB 的值，可得p=$\sqrt{2}$a-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$a²，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得p的最小值．

解答 解：在△ABC中，由sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC利用正弦定理可得c=3a-3b，
再根據(jù)3b=2a，2≤a²+ac≤18，可得c=a，b=$\frac{2a}{3}$，1≤a≤3．
由余弦定理可得 b²=$\frac{{4a}^{2}}{9}$=a²+a²-2a•a•cosB，
求得cosB=$\frac{7}{9}$，∴sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$•ac•sinB=$\frac{{a}^{2}}{2}$•$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$•a²，
故p=$\sqrt{2}$a-S=$\sqrt{2}$a-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$a²，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合a的范圍可得當(dāng)a=1時，p取得最小值是$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．