Question

如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點F是AE的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求二面角F-BD-A的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB的中點G，利用三角形的中位線平行且等于底邊的一半得到四邊形FGCD是平行四邊形，進(jìn)一步得到DF∥CG，利用直線與平面平行的判定定理得證．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量垂直于平面內(nèi)兩相交向量，求出平面BDF與平面ABD的法向量，利用向量的數(shù)量積求出兩個法向量的夾角余弦，根據(jù)平面與平面所成角與法向量所成角的關(guān)系求出二面角F-BD-A的大�。�
解答：解：（1）取AB的中點G，連CG，F(xiàn)G，
則FG∥BE，且FG=BE，
∴FG∥CD且FG=CD，
∴四邊形FGCD是平行四邊形，
∴DF∥CG，
∵CG?平面ABC，F(xiàn)D?平面ABC
∴DF∥平面ABC．…（5分）
（2）以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為 x、y、z軸，
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則
B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
D（0，2，1），E（0，0，2），F(xiàn)（1，0，1）．
∴=（0，2，1），=（1，-2，0）
設(shè)平面BDF的一個法向量為=（x，y，z），
∵⊥，⊥，
∴，即，解得，
則x=2y，z=-2y  令y=1則x=2，z=-2
∴…（7分）
=（2，0，0），=（0，2，1）
設(shè)是平面ABD的一個法向量
所以 解得：x=0，z=-2y
令y=1  得  z=-2   所以…（9分）
二面角F-BD-A的平面角為θ，顯然是銳角．
即cosθ=
即θ=arccos…（12分）
點評：主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查了空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，在高考中以解答題的形式出現(xiàn)，常用的工具是空間向量．