Question

如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1＝4CP． (1) 求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示) (2) 設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP (3) 求點(diǎn)P到平面ABD1的距離

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：∵AB⊥平面BCC1B1，∴AP與平面BCC1B1所成的角就是∠APB． 　　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為D． 　　∵CC1=4CP，CC1=4 ，∴CP=1． 　　∴A(4，0，0)，P(0，4，1)，B(4，4，0)． 　　∴=(4，一4，－1)，=(4，0，－1)． 　　∴·=16＋0＋1=17． 　　∴cos∠= 　　==． 　　∴直線AP與平面BCC1B1所成的角為arccos．
(2)	連結(jié)D1O，由(1)有D1(0，0，4)，O(2，2，4)． 　　∴=(2，2，0)，∴·=8－8＋0=0，∴⊥ 　　∵平面D1AP的斜線D1O在這個平面內(nèi)的射影是D1H，∴D1H⊥AP．
(3)	連結(jié)BC1，在平面BCC1B1中，過點(diǎn)P作PQ⊥BC1于點(diǎn)Q． 　　∵AB⊥平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1，∴PQ⊥AB．∴PQ⊥平面ABC1D1． 　　∴PQ就是點(diǎn)P到平面ABD1的距離． 　　在Rt△C1PQ中，∠C1QP=，∠PC1Q=，PC1=3， 　　∴PQ=，即點(diǎn)P到平面ABD1的距離為． 　　點(diǎn)評：求夾角和距離問題是向量應(yīng)用的主要方面，在垂直關(guān)系較多的幾何圖形中，常常建立空間直角坐標(biāo)系求解，這也是高考考題的常見題型．