Question

如圖：在山腳下A測得山頂P的仰角為a，沿傾斜角為β的斜坡向上走a米到達點B，在B處測得山頂P的仰角為γ，則山高PQ為

asinαsin(γ-β)

sin(γ-α)

米．

Answer 1

分析：過B作BC垂直于PQ，過B作BD垂直于AQ，可得BD=CQ，由已知條件表示出∠PAB及∠BPA，在三角形ABP中，由a，sin∠PAB及sin∠BPA，利用正弦定理表示出PB，在直角三角形PBC中，由PBsinγ表示出PC，在直角三角形ABD中，由asinβ表示出BD，即為CQ的長，然后由PC+CQ表示出PQ即可．

解答：
解：過B作BC⊥PQ，交PQ于點C，過B作BD⊥AQ，交AQ于點D，
可得BD=CQ，
在△PAB中，∠PAB=α-β，∠BPA=（

π

2

-α）-（

π

2

-γ）=γ-α，
∴

PB

sin(α-β)

=

a

sin(γ-α)

，即PB=

asin(α-β)

sin(γ-α)

，
則PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ
=

asin(α-β)

sin(γ-α)

•sinγ+asinβ
=

asin(α-β)sinγ+asinβsin(γ-α)

sin(γ-α)

=

asinαcosβsinγ -acosαsinβsinγ+asinβsinγcosα-asinβcosγsinα

sin(γ-α)

=

asinα(cosβsinγ -sinβcosγ)

sin(γ-α)

=

asinαsin(γ-β)

sin(γ-α)

．
故答案為：

asinαsin(γ-β)

sin(γ-α)

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，銳角三角函數(shù)定義，以及直角三角形的邊角關系，利用正弦定理表示出PB是解本題的關鍵．