Question

已知向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)．
（Ⅰ）求證：向量

a

⊥

b

；
（Ⅱ）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k、θ和λ，使

x

=

a

+(sinθ-3λ)

b

，

y

=-

k

4

a

+sinθ

b

，且

x

⊥

y

，試求函數(shù)關(guān)系式k=f（θ）；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，求函數(shù)k=f（θ）的最小值．

Answer 1

證明：（I）∵

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0
∴

a

⊥

b

（II）由題意可得，

x

•

y

=0
[

a

+(sinθ-3λ)

b

]•(-

k

4

a

 +sinθ

b

)=0
結(jié)合（I）

a

•

b

=0，整理可得，-

k

4

a

2+sinθ(sinθ-3λ)

b

2=0
∴k=sin²θ-3λsinθ
（III）由（II）可得k=sin²θ-3λsinθ=(sinθ-

3λ

2

)2-

9λ2

4

∵-1≤sinθ≤1
①當(dāng)

3λ

2

≥1即λ≥

2

3

時(shí)，k_min=f（1）=1-3λ
②當(dāng)

3λ

2

≤-1，即λ≤-

2

3

時(shí)，k_min=f（-1）=1+3λ
③當(dāng)-1＜

3λ

2

＜1即-

2

3

＜λ＜

2

3

時(shí)，kmin=f(

3λ

2

)=-

9

2

λ2×

1

2

=-

9λ2

4