Question

已知關于x的不等式

ax-5

x-a

＜0的解集為M．
（1）當a=1時，求集合M；
（2）當3∈M且5∉M時，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，

x-5

x-1

＜0，解得x的范圍，可得M．
（2）由3∈M，可得

3a-5

3-a

＜0，解得a的范圍 ①，由5∉M，可得

5a-5

5-a

＜0不成立，解得a的范圍②，把①②取交集，可得實數(shù)a的范圍．

解答：解：（1）當a=1時，

x-5

x-1

＜0，解得 1＜x＜5，∴M=（1，5）．…（5分）
（2）∵3∈M，∴

3a-5

3-a

＜0，解得a＜

5

3

，或a＞3．①…（8分）
∵5∉M，∴

5a-5

5-a

＜0不成立，即 a＜1，或a＞5不成立，∴1≤a≤5，②…（11分）
由①②知 1≤a＜

5

3

，或3＜a≤5，即實數(shù)a的范圍為[1，

5

3

）∪（3，5]．…（12分）

點評：本題主要考查分式不等式的解法，元素與集合的關系判斷，屬于中檔題．