Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，設(shè)tanα=x，tanβ=y，記y=f（x），其中α≠kπ+

π

2

，β≠kπ+

π

2

，α+β≠kπ+

π

2

，k∈Z．
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）定義數(shù)列a_n，a1=

1

2

，a_n+1²=2a_nf（a_n），（n∈N^*）
①證明數(shù)列{

1

a 2 n

-2}是等比數(shù)列；
②設(shè)bn=

1

a 2 n

-2，S_n為數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和，求使Sn＞

63

16

成立的最小n的值．

Answer 1

分析：（1）分別把題設(shè)等式中兩邊變形后利用兩角和公式展開整理求得tan（α+β）=2tanα，然后利用正切的兩角和公式展開后，用x和y表示，整理出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（2）①利用（1）中函數(shù)的解析式整理求得理

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)，利用等比數(shù)列的定義判定出數(shù)列{

1

a n 2

-2}為等比數(shù)列．
②利用（2）可求得數(shù)列{

1

a n 2

-2}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得b_n，利用等比數(shù)列的求和公式求得S_n的表達(dá)式，利用題設(shè)不等式求得n的范圍，則n的最小值可得．

解答：解：（1）sin（2α+β）=3sinβ變形得sin[α+（α+β）]=3sin[（α+β）-α]
化簡得tan（α+β）=2tanα
所以2tanα=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，所以2x=

x+y

1-xy

，
從而y=f(x)=

x

1+2x2

；
（2）①由

a

2 n+1

=2anf(an)=

2an

1+2 a 2 n

，變形得

1

a 2 n+1

=

1

2

•

1

a 2 n

+1，
整理得

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)
所以數(shù)列{

1

a 2 n

-2}是首項(xiàng)為2，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
②bn=

1

a 2 n

-2=

1

2n-2

，所以Sn=4(1-

1

2n

)，
令4(1-

1

2n

)＞

63

16

，則2ⁿ＞64=2⁶，所以n＞6，
所以n的最小值為7．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)與數(shù)列的綜合．?dāng)?shù)列是高考中的熱點(diǎn)問題，一般要與函數(shù)，不等式，三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等問題綜合考查，平時(shí)應(yīng)注意這方面的練習(xí)．