Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的最值；

（Ⅱ）若函數(shù)有極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）函數(shù)有一個極值時；函數(shù)有兩個極值點時.

【解析】【試題分析】（1）運用導數(shù)與 函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解；（2）依據(jù)導數(shù)的零點就是函數(shù)的極值點這一事實分析求解：

（Ⅰ）當時， ， ，

當時， ， 單調(diào)遞增；當時， ， 單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，且．

（Ⅱ）令， ，

當時， ，函數(shù)在上遞增，無極值點；

當時，設(shè)， .

①若， ， ，函數(shù)在上遞增，無極值點；

②若時， ，設(shè)方程的兩個根為， （不妨設(shè)），

因為， ，所以， ，

所以當， ，函數(shù)遞增；

當， ，函數(shù)遞減；

當， ，函數(shù)遞增；

因此函數(shù)有兩個極值點.

當時， ，由，可得，

所以當， ，函數(shù)遞增；

當時， ，函數(shù)遞減；

因此函數(shù)有一個極值點．

綜上，函數(shù)有一個極值時；函數(shù)有兩個極值點時．