Question

（2012•湖南模擬）設函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx．
（1）當a+b=1時，試用含a的表達式研究f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a=0，b=-1時，方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）將b=a-1代入f′（x）=

1

x

-ax+b，得f′（x）=

1

x

-ax+a-1．當f′（x）＞0時，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，由此對a討論后能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，即x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解，設g（x）=x²-2mlnx-2mx，通過導數(shù)法求得g（x）的最小值g（

m+ m2+4m

2

），最后由

g′(x2)=0 g(x2) =0

得到

m+ m2+4m

2

=1，從而可求得m．

解答：解：（1）∵a+b=1，故b=1-a，
∴f′（x）=

1

x

-ax+a-1，…1′
當f′（x）＞0時，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，∵x＞0，
∴（ax+1）（x-1）＜0，…2′
若a≥0，有0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；…3′
若-1＜a＜0，增區(qū)間（-

1

a

，+∞），（0，1），減區(qū)間（1，-

1

a

）…4′
若a=-1，增區(qū)間（0，+∞）…5′
若a＜-1，增區(qū)間（0，-

1

a

），（1，+∞），減區(qū)間（-

1

a

，1）…6′
（2）∵方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解，
設g（x）=x²-2mlnx-2mx，
則g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

，令g′（x）=0，即x²-mx-m=0，
∵m＞0，x＞0，
∴x₁=

m- m2+4m

2

（舍去），
x₂=

m+ m2+4m

2

…8′
當x∈（0，x₂），g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，
當x∈（x₂，+∞），g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
當x=x₂時，g′（x）=0，g（x）取最小值g（x₂）…10′
則

g′(x2)=0 g(x2) =0

即

x22-2mlnx2-2mx2=0 x22-m x2-m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0，因為m＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0（*），
設函數(shù)h（x）=2lnx₂+x₂-1，因為當x＞0時，h（x）是增函數(shù)，
∴h（x）=0至多有一解，因為h（1）=0，
∴方程（*）的解為：x₂=1…12′
即

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

…13′

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，考查論證推理能力，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．