Question

實數(shù)x，y滿足1+cos2(2x+3y-1)=

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

，則xy的最小值是

1

25

．

Answer 1

分析：利用配方法，我們可將1+cos2(2x+3y-1)=

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

轉(zhuǎn)化為1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

的形式，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式，我們可得(x-y+1)+

1

x-y+1

≥2，或(x-y+1)+

1

x-y+1

≤-2，且1≤1+cos²（2x+3y-1）≤2，則1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

=2，進(jìn)而x-y+1=1，2x+3y-1=kπ，（k∈Z），求出xy的表達(dá)式后，即可得到其最小值．

解答：解：∵1+cos2(2x+3y-1)=

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

，
∴1+cos2(2x+3y-1)=

x2+y2+2x+2-2xy-2y

x-y+1

∴1+cos2(2x+3y-1)=

(x-y)2+2(x-y)+2

x-y+1

∴1+cos2(2x+3y-1)=

(x-y+1)2+1

x-y+1

∴1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

∵(x-y+1)+

1

x-y+1

≥2，或(x-y+1)+

1

x-y+1

≤-2
1≤1+cos²（2x+3y-1）≤2
故1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

=2
此時x-y+1=1，即x=y
2x+3y-1=kπ，即5x-1=kπ，x=

kπ+1

5

（k∈Z）
xy=x²=

(kπ+1)2

25

（k∈Z）
當(dāng)k=0時，xy取得最小值

1

25

故答案為：

1

25

點評：本題考查的知識點是基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，余弦函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知條件，得到1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

=2，是解答本題的關(guān)鍵．