Question

18．已知中心在原點且經(jīng)過點（2，1）的橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由點（2，1）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，從而可求a的取值范圍．

解答 解：∵點（2，1）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，
∴$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
即$\frac{4}{{a}^{2}}$=1-$\frac{1}{^{2}}$＞0，
∴b²＞1．
又b＜$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴1＜b²＜5．
a²=$\frac{4^{2}}{^{2}-1}$=$\frac{4}{^{2}-1}$+4＞4+1=5，
∴a＞$\sqrt{5}$
即a的取值范圍為（$\sqrt{5}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓方程，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．