Question

19．已知點(diǎn)A（0，2），拋物線C₁：y²=ax（a＞0）的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若|FM|：|MN|=1：$\sqrt{5}$，則a的值等于4．

Answer 1

分析 作出M在準(zhǔn)線上的射影，根據(jù)|KM|：|MN|確定|KN|：|KM|的值，進(jìn)而列方程求得a．

解答 解：依題意F點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{a}{4}$，0），
設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為K，
由拋物線的定義知|MF|=|MK|，
∴|KM|：|MN|=1：$\sqrt{5}$，
則|KN|：|KM|=2：1，
k_FN=$\frac{0-2}{\frac{a}{4}-0}$=-$\frac{2}{\frac{a}{4}}$，
k_FN=-$\frac{|KN|}{|KM|}$=-2
∴$\frac{2}{\frac{a}{4}}$=2，求得a=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．拋物線中涉及焦半徑的問題常利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離來解決．