Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*滿足關系式2S_n=3a_n-3．數列{b_n}是公差不為0的等差數列，且b₁=2，b₂，b₁，b₃成等比數列．
（1）求數列{a_n}及{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，有2S_n-1=3a_n-1-3，2S_n=3a_n-3，兩式相減，得a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出a_n=3ⁿ．由b₂，b₁，b₃成等比數列，能求出b_n．
（2）設cn=anbn=(-3n+5)•3n，由Tn=c1+c2+c3+…+cn=2×31+(-1)×32+(-4)×33+…+(-3n+5)×3n，利用錯位相減法能求出數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）當n≥2時，有2S_n-1=3a_n-1-3，①
又2S_n=3a_n-3，②
②-①得，2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1，
即a_n=3a_n-1（n≥2）．
又當n=1時，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
故數列{a_n}為等比數列，且公比q=3．
∴a_n=3ⁿ．
∵b₂，b₁，b₃成等比數列，
∴b12=b2b3，即4=（2+d）（2+2d）
解得，d=-3或d=0（舍去）
∴b_n=2-3（n-1）=-3n+5．
（2）設cn=anbn=(-3n+5)•3n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=2×31+(-1)×32+(-4)×33+…+(-3n+5)×3n，①
∴3Tn=2×32+(-1)×33+(-4)×34+…+(-3n+5)×3n+1，②
②-①得，2Tn=-6+3×32+3×33+…+3×3n+(-3n+5)×3n+1
=-6+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹+（-3n+5）×3ⁿ⁺¹
=-6+

33-3n+1×3

1-3

+(-3n+5)×3n+1
=-

39

2

+(

13

2

-3n)×3n+1
∴Tn=-

39

4

+(

13

4

-

3

2

n)×3n+1．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意迭代法和錯位相減法的合理運用．