Question

19．如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是B₁C₁，A₁B₁的中點(diǎn)，AA₁=AB=BE=1，∠A₁AB=60°．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求證：BF⊥平面A₁B₁C₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AB₁，交A₁B于G，連結(jié)EG，先證明出GE∥AC₁，進(jìn)而利用線面平行的判定定理證明出AC₁∥平面A₁BE．
（Ⅱ）連結(jié)EF．判斷出△ABA₁為等邊三角形，求得BA₁=1，判斷出F是A₁B₁的中點(diǎn)，求得EF，然后利用勾股定理判斷出△BEF為直角三角形，推斷出BF⊥EF．最后利用線面垂直的判定定理證明出BF⊥EF．

解答
證明：（Ⅰ）連結(jié)AB₁，交A₁B于G，連結(jié)EG，
∵△B₁AC₁中，B₁G=GA，B₁E=EC₁，
∴GE∥AC₁，
∵GE?面A₁BE，AC1?面A₁BE，
∴AC₁∥平面A₁BE．
（Ⅱ）連結(jié)EF．
∵AA₁=AB=1，∠A₁AB=60°，
∴△ABA₁為等邊三角形，
∴BA₁=1，又BB₁=AA₁=1，
∴F是A₁B₁的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$A₁C₁=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
又知△A₁BB₁中，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴在△BEF中，EF²+BF²=BE²=1．
∴△BEF為直角三角形，且∠BEF=90°，
∴BF⊥EF．
∵EF?面A₁B₁C₁，A₁B₁?面A₁B₁C₁，EF∩A₁B₁=F，
∴BF⊥面A₁B₁C₁．

點(diǎn)評 本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)定理和公式的熟練運(yùn)用程度，和一定的空間的觀察能力．