Question

設函數f（x）=2sin（

π

8

x+

π

4

）+1．
（Ⅰ）在圖中畫出y=f（x），x∈[-2，14]的圖象．
（Ⅱ）求函數g（x）=f（2+x）+f（2-x）的值域．

Answer 1

分析：（I）根據題意，結合正弦函數圖象的作法，求出圖象在區(qū)間[-2，14]內的五個特殊點，再通過描點、連線，即可得到所求的圖象．
（II）由函數f（x）的表達式，結合

π

2

±α的誘導公式，可將函數g（x）化簡成4cos

π

8

x+2，再結合余弦函數的值域，可得函數g（x）的值域．

解答：解：（I）由題意，可得
函數f（x）=2sin（

π

8

x+

π

4

）+1圖象依次經過點
（-2，1），（2，3），（6，1），（10，-1）
和（14，1）．根據“五點法”三角函數的圖象，
可作出函數f（x）在區(qū)間[-2，14]內的圖象，如右圖；
（II）∵f（x）=2sin（

π

8

x+

π

4

）+1
∴f（2+x）=2sin[

π

8

(2+x)+

π

4

]+1=2cos

π

8

x+1，
f（2-x）=2sin[

π

8

(2-x)+

π

4

]+1=2cos

π

8

x+1，
可得g（x）=f（2+x）+f（2-x）=4cos

π

8

x+2，
∵-1≤cos

π

8

x≤1
∴-2≤g（x）≤6，即函數g（x）=f（2+x）+f（2-x）的值域為[-2，6]

點評：本題給出三角函數表達式，要求作出它在一個周期內的簡圖，并求另一個函數的值域．著重考查了三角函數的圖象與性質，余弦函數的值域等知識，屬于基礎題．