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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.

【答案】(1) (2) （為參數(shù)， ）.

【解析】

（1）求出曲線和直線的普通方程，通過(guò)直線與圓相交求出斜率的范圍，從而得出傾斜角的范圍；

（2）設(shè)出對(duì)應(yīng)的參數(shù)，聯(lián)立直線與圓的方程，借助韋達(dá)定理表示的參數(shù)，從而得出點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.

解：（1） 曲線的直角坐標(biāo)方程為,

當(dāng)時(shí)，與交于兩點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，記，則的方程為，

與交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，

解得或，

即或，

綜上的取值范圍是.

（2）的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

則且滿足，

由韋達(dá)定理可得：，

故 ,

又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為 （為參數(shù)， ）.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. C. D.

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（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角.

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