Question

11．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=1（a＞0）的左頂點(diǎn)為A，若該雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實(shí)數(shù)a=5．

Answer 1

分析 利用拋物線的定義求出拋物線的方程，利用雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，建立方程，即可求出a的值．

解答 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）到其焦點(diǎn)的距離為5，
∴1+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=8，
∴y²=16x，∴m=±4．
取M（1，4），雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=1（a＞0）的左頂點(diǎn)為A（a，0），直線AM的斜率為$\frac{4}{1-a}$
∵該雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，
∴$\frac{5}{a}$×$\frac{4}{1-a}$=-1
∵a＞0，∴a=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義域方程，考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．