Question

12．一副紙牌共52張，其中“方塊”“梅花”“紅心”“黑桃”每種花色的牌各13張，標(biāo)號依次是2，3，…10，J，Q，K，A，其中相同花色，相鄰標(biāo)號的兩張牌稱為“同花順牌”，并且A與2也算是順牌（即A可以當(dāng)成1使用）．試確定，從這副牌中取出13張牌，使每種標(biāo)號的牌都出現(xiàn)，并且不含“同花順牌”的取牌種數(shù)．

Answer 1

分析 將問題轉(zhuǎn)化為一般問題：設(shè)n≥3，從A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，B={b₁，b₂，b₃，…b_n}，C={c₁，c₂，c₃，…c_n}，D={d₁，d₂，d₃，…d_n}，這四個數(shù)列中選取n個項，且滿足：①1，2，…，每個下標(biāo)都出現(xiàn)；②下標(biāo)相鄰的任兩項不在同一個數(shù)列中（下標(biāo)n與1視為相鄰），其選取方法數(shù)記為x_n，今確定x_n的運(yùn)算式即可．

解答 解：先一般化為下述問題：設(shè)n≥3，從A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，B={b₁，b₂，b₃，…b_n}，C={c₁，c₂，c₃，…c_n}，D={d₁，d₂，d₃，…d_n}，
這四個數(shù)列中選取n個項，且滿足：
①1，2，…，每個下標(biāo)都出現(xiàn)；
②下標(biāo)相鄰的任兩項不在同一個數(shù)列中（下標(biāo)n與1視為相鄰），其選取方法數(shù)記為x_n，今確定x_n的運(yùn)算式；
將一個圓盤分成n個扇形格，順次編號為1，2…，并將數(shù)列A，B，C，D，各染一種顏色，對于任一個選項方案，如果下標(biāo)為i的項取自某顏色數(shù)列，則將第i號扇形格染上該顏色，
于是x_n就成為將圓盤的n個扇形格染四色，使相鄰格不同色的染色方法數(shù)，易知，x₁=4，x₂=12，
x_n+x_n-1=4•3^n-1，（n≥3），（1）
將（1）寫作（-1）ⁿx_n-（-1）^n-1x_n-1=-4•（-3）^n-1，
因此（-1）^n-1x_n-（-1）^n-2x_n-1=-4•（-3）^n-2，
…
（-1）³x₃-（-1）²x₂=-4•（-3）²，
（-1）²x₂=-4•（-3），
相加得（-1）ⁿx_n=3+（-3）ⁿ，
于是x_n=3ⁿ+3•（-1）ⁿ，（n≥2），
當(dāng)n=13時，x₁₃=3¹³-3．

點評 本題主要考查與數(shù)列有關(guān)的計算問題，根據(jù)條件構(gòu)造數(shù)列，利用累加法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大，是一個難度較大的競賽試題．