Question

中心在原點O的橢圓的左焦點為F（-1，0），上頂點為（0，），P₁、P₂、P₃是橢圓上任意三個不同點，且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，則++=（ ）
A．2
B．3
C．1
D．-1

Answer 1

【答案】分析：設橢圓方程為 ，由題意知c=1，，a=2故所求橢圓方程為 ．
記橢圓的右頂點為A，并設∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），假設 ，且 ，
又設點P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率 ，從而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e==（i=1，2，3）．由此入手能夠推導出++，根據(jù)對稱性可知 ++為定值，并能求出此定值．
解答：解：設橢圓方程為 ，由題意知c=1，，a=2故所求橢圓方程為 ．
記橢圓的右頂點為A，并設∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假設 ，且 ，
又設點P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率 ，從而有|F₁P_i|=|P_iQ_i|•e==（i=1，2，3），解得 =（i=1，2，3）
因此 ++=，
而 =，
故++=2，根據(jù)對稱性可知 ++．
故選A．
點評：本題考查直線和橢圓的位置關系和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題中的隱含條件．