Question

如圖甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，E在BC上，且EF∥AB，已知AB=AD=CE=2，現(xiàn)沿EF把四邊形CDFE折起如圖乙，使平面CDFE⊥平面ABEF，
(Ⅰ)求證：AD∥平面BCE；
(Ⅱ)求CD與平面ABC所成角的正弦值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：由題意知AF∥BE，DF∥CE，
∴平面ADF∥平面BCE，
又AD平面ADF， 
∴AD∥平面BCE。
(Ⅱ)解：在圖甲中，∵AB⊥AD，EF∥AB，
∴EF⊥BC，
∴在圖乙中，EF⊥BE，EF⊥CE，
∵平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF= EF，
∴CE⊥面ABEF，CE⊥BE，
以E為原點(diǎn)，以直線EF，EB，EC分別為x，y，z軸建立空間直角坐 標(biāo)系E-xyz，
由已知AB=AD=CE=2，F(xiàn)為中點(diǎn)，得A(2，1，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，D(2，0，1)，
∴，
設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量n=（x，y，z），
則，即，∴，
令z=1，得n=（0，2，1），
∴，
∴CD與平面ABC所成角的正弦值為。