Question

5．直線$\sqrt{2}ax+by=\sqrt{3}$與圓x²+y²=1相交于A、B（其中a、b為實數(shù)），且∠AOB=$\frac{π}{3}$（O是坐標原點），則點P（a，b）與點（1，0）之間距離的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓的位置關系以及兩點間的距離公式即可得到結論．

解答 解：∵∠AOB=$\frac{π}{3}$（O是坐標原點），∴∴圓心到直線$\sqrt{2}$ax+by=$\sqrt{3}$的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}=1$，整理得2a²+b²=3，
則點P（a，b）與點Q（1，0）之間距離d₁=$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+3-2{a}^{2}}$
=$\sqrt{-{a}^{2}-2a+4}$=$\sqrt{-（a+1）^{2}+5}$$≤\sqrt{5}$
則點P（a，b）與點（1，0）之間距離的最大值為$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$

點評 本題主要考查直線和圓的位置公式的應用以及兩點間的距離公式，考查學生的計算能力．屬于中檔題．