Question

已知函數(shù)，g（x）=xe^ax-1（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.718）．
（1）當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若對(duì)于任意的x∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后判定函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，即可求得函數(shù)的值域；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)镹，可轉(zhuǎn)化成若對(duì)于任意的x∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x），即，從而討論a的正負(fù)，以及與-進(jìn)行比較，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的值域即可．
解答：解：（1）由已知，x≠-1，，…（2分）
在區(qū)間（-1，2）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
在區(qū)間（2，+∞）上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
所以，在區(qū)間[0，3]上，函數(shù)f（x）的最大值為，
又f（0）=-1，，所以f（x）的最小值為f（0）=-1．
所以f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101223053913350719/SYS201311012230539133507026_DA/5.png">．
（2）設(shè)函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)镹，根據(jù)題意，
若對(duì)于任意的x∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x），即．
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=x-1，在區(qū)間[0，3]上的值域N=[-1，2]，符合題意；
由已知g'（x）=（ax+1）e^ax，
②當(dāng)a＞0時(shí)，在上，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，在區(qū)間[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，
即N=[-1，3e^3a-1]，因?yàn)?e^3a＞3，3e^3a-1＞2所以符合題意；
③當(dāng)時(shí)，，在上，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，在區(qū)間[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，即N=[-1，3e^3a-1]，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101223053913350719/SYS201311012230539133507026_DA/11.png">，所以-1＜3a＜0，，
比較與，即比較e與，因?yàn)閑≈2.718，所以，所以．
所以，根據(jù)題意，需，解得．所以；…（10分）
④當(dāng)時(shí)，，在上，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
在上，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，在區(qū)間[0，3]上的最大值為，
以下比較與，由于，所以，不符合題意．…（12分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．