Question

設(shè)a＞2,給定數(shù)列{x_n},其中x₁=a,x_n+1=(n∈N^*).求證:

(1)x_n＞2,且x_n+1＜x_n(n∈N^*);

(2)如果2＜a≤3,那么x_n≤2+(n∈N^*).

Answer 1

證明:(1)使用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n＞2.

當(dāng)n=1時(shí),x₁=a＞2命題成立;假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N^*)時(shí)命題成立,即x_n＞2.

當(dāng)n=k+1時(shí),x_n+1-2==＞0,即x_n+1＞2.

綜上,對(duì)一切n∈N^*,有x_n＞2.

當(dāng)x_n＞2時(shí),==＜=1.所以x_n+1＜x_n(n∈N^*).

(2)因?yàn)閤_n＞2,所以=1∈(0,1).

故x_n+1-2==(x_n-2)()＜(x_n-2)(n∈N^*).

由此可得x_n-2≤(x_n-1-2)≤(x_n-2-2)≤…≤(x₁-2)=(a-2),

x_n≤2+.

所以當(dāng)2＜a≤3時(shí),x_n≤2+(n∈N^*).