Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+（3a-1）x，若方程f（x）=|e^x-1|（e為自然對數(shù)的底）有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由題意y=|e^x-1|的圖象如圖所示，對二次函數(shù)分類討論，利用方程f（x）=|e^x-1|（e為自然對數(shù)的底）有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意y=|e^x-1|的圖象如圖所示．
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+（3a-1）x的對稱軸為x=$\frac{1-3a}{2}$，
$\frac{1-3a}{2}$≥0，即a≤$\frac{1}{3}$，方程f（x）=|e^x-1|（e為自然對數(shù)的底）有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．
$\frac{1-3a}{2}$＜0，即a＞$\frac{1}{3}$，方程f（x）=|e^x-1|（e為自然對數(shù)的底）有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．
只需要x＞0，f（x）=-x²+（3a-1）x與y=e^x-1只有1個(gè)交點(diǎn)（0，0）
由y=e^x-1可得y′=e^x，x=0時(shí)，y′=1
由f（x）=-x²+（3a-1）x可得f′（x）=-2x+（3a-1）
令f′（0）=1，可得a=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{2}{3}$，
綜上所述，a≤$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)圖象的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．