Question

20．如圖，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，E為棱CC₁上異于C、C₁的一點(diǎn)，EA⊥EB₁，已知AB=，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=，求：

   （Ⅰ）異面直線AB與EB₁的距離；

   （Ⅱ）二面角A—EB₁—A₁的平面角的正切值.

Answer 1

20．

    解法一：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  （Ⅰ）因AB⊥面BB₁C₁C，故AB⊥BE.

又EB₁⊥EA，且EA在面BCC₁B₁內(nèi)的射影為EB.

由三垂線定理的逆定理知EB₁⊥BE，因此BE是異面直線

AB與EB₁的公垂線，

在平行四邊形BCC₁B₁中，設(shè)EB=x，則EB₁=，

作BD⊥CC₁，交CC₁于D，則

BD=BC·

在△BEB₁中，由面積關(guān)系得            

.

（負(fù)根舍去）

解之得CE=2，故此時E與C₁重合，由題意舍去.

因此x=1，即異面直線AB與EB₁的距離為1.

（Ⅱ）過E作EG//B₁A₁，則GE⊥面BCC₁B，故GE⊥EB₁且GE在圓A₁B₁E內(nèi)，又已知

AE⊥EB₁

故∠AEG是二面角A—EB₁—A₁的平面角.

因EG//B₁A₁//BA，∠AEG=∠BAE，故

解法二：

（Ⅰ）BB₁C₁C得AB⊥EB₁從而=0.      設(shè)O是BB₁的中點(diǎn)，連接EO及OC₁，則在Rt△BEB₁中，EO=BB₁=OB₁=1，因?yàn)樵凇鱋B₁C₁中，B₁C₁=1，∠OB₁C₁=，故△OB₁C₁是正三角形，

    所以O(shè)C₁=OB₁=1，

    又因∠OC₁E=∠B₁C₁C－∠B₁C₁O=故△OC₁E是正三角形，

    所以C₁E=1，故CE=1，易見△BCE是正三角形，從而BE=1，

    即異面直線AB與EB₁的距離是1.

（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB₁—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，

BE=1，得tanAEB=.

又由已知得平面A₁B₁E⊥平面BB₁C₁C，

故二面角A—EB₁—A₁的平面角，故

解法三：

   （I）以B為原點(diǎn)，、分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

    由于BC=1，BB₁=2，AB=，∠BCC₁=，

    在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中有

    B（0，0，0），A（0，0，），B₁（0，2，0），

   

    設(shè)

   

 

又AB⊥面BCC₁B₁，故AB⊥BE. 因此BE是異面直線AB、EB₁的公垂線，

則，故異面直線AB、EB₁的距離為1.

（II）由已知有故二面角A—EB₁—A₁的平面角的大小為向量

的夾角.