Question

已知函數f（x）=x³-（a+b）x²+abx，這里0＜a＜b．
（Ⅰ）設f（x）在x=s與x=t處取得極值，其中s＜t，求證：0＜s＜a＜t＜b；
（Ⅱ）設點A（s，f（s）），B（t，f（t）），求證：線段AB的中點C在曲線y=f（x）上．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據函數的極值點出導數為0，知，極值點是導數等于零的根，所以先求導，再解導數等于零，兩根為s，t，再判斷x=a，b時導數的正負，比較大小即可．
（Ⅱ）求出AB的中點坐標，再代入y=f（x），判斷是否成立即可．

解答： 證明：（Ⅰ）∵f（x）=x³-（a+b）x²+abx，
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab
則3x²-2（a+b）x+ab=0的兩根是s，t
∵f′（0）=ab＞0
f′（a）=a²-ab=a（a-b）＜0
f′（b）=b（b-a）＞0
∴0＜s＜a＜t＜b．
（Ⅱ）設AB中點C（x₀，y₀），
則x0=

s+t

2

，y0=

f(s)+f(t)

2

，
故有s+t=

2(a+b)

3

，st=

ab

3

，
∴x0=

a+b

3

，
f（s）+f（t）=（s³+t³）-（a+b）（s²+t²）+ab（s+t）
=-

4

27

(a+b)3+

2

3

ab(a+b)，
∴y0=-

2

27

(a+b)2+

1

3

ab(a+b)．
代入驗算可知C在曲線y=f（x）上．
∴線段AB的中點C在曲線y=f（x）上．

點評：本題考查不等式的證明，考查線段的中點到曲線上的證明，解題時要注意導數知識的合理運用，是中檔題．