Question

19．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點A在平面α內，且直線AA₁與平面α所成的角為45°，頂點A₁在平面α上的射影為點O，當頂點C₁與點O的距離最大時，直線C₁B與平面α所成角的正弦值等于$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 設∠C₁A₁O為θ，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，直線C₁B與平面α所成角等于D₁A與平面α所成角，θ=135°時，頂點C₁與點O的距離最大，由此能求出直線C₁B與平面α所成角β的正弦值．

解答 解：設∠C₁A₁O為θ，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
直線C₁B與平面α所成角等于D₁A與平面α所成角，
${C}_{1}{O}^{2}={A}_{1}{O}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}-2{A}_{1}O•{A}_{1}{C}_{1•}$cosθ，
cosθ越小，θ越大，C₁O越大，
由圖形得θ≤∠C₁A₁A+∠OAA₁=45°，
∴θ=135°時，頂點C₁與點O的距離最大，
作C₁在平面α內的投影O′，在C₁O′上取點H，使A₁H⊥C₁O′，
${C}_{1}{O}^{'}$=HO′+C₁H，HO′=A${\;}_{1}O=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠C₁A₁H=θ-90°=45°，
∴C₁H=${C}_{1}{A}_{1}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，∴${C}_{1}{O}^{'}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
D₁到α的距離x等于A₁C₁與D₁B₁的交點E到α的距離，
∴x=$\frac{1}{2}（{C}_{1}{O}^{'}+{A}_{1}{O}^{'}）$=$\frac{1}{2}（1+\sqrt{2}）=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∴直線C₁B與平面α所成角β的正弦值為：
sinβ=$\frac{x}{{D}_{1}A}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．