Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短軸的一個端點到右焦點的距離是$\sqrt{3}$．
①求橢圓C的方程；
②直線y=x+1交橢圓于A、B兩點，求弦 AB的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得b，進而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，直線 方程代入橢圓方程，求出交點坐標，利用距離公式求解即可．

解答 解：（1）由題意可得a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得b=1，c=$\sqrt{2}$，
可得橢圓的方程為：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）直線l：y=x+1，
代入橢圓方程x²+3y²=3，
可得4x²+6x+3=3，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁=0，x₂=-$\frac{3}{2}$，y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$，
可得弦長|AB|=$\sqrt{（0+\frac{3}{2}）^{2}+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，兩點間距離公式的應(yīng)用，考查運算能力，屬于中檔題．