Question

已知函數(shù)，其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且x₁＜x₂．
（I）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值；
（III）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（II）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，因?yàn)榍芯�互相垂直，可得，即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．可得，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（III）當(dāng)x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂時(shí)，∵，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．分別寫出切線的方程，根據(jù)兩條直線重合的充要條件即可得出，再利用導(dǎo)數(shù)即可得出．．
解答：解：（I）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+1）²+a，
∴f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx，在（0，+∞）單調(diào)遞增．
（II）∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+a，∴f^′（x）=2x+2，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)A，B處的切線的斜率分別為f^′（x₁），f^′（x₂），
∵函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，
∴，
∴（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴=1，當(dāng)且僅當(dāng)-（2x₁+2）=2x₂+2=1，即，時(shí)等號(hào)成立．
∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值為1．
（III）當(dāng)x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂時(shí)，∵，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．
當(dāng)x₁＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），處的切線方程為
，即．
當(dāng)x₂＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x₂，f（x₂））處的切線方程為，即．
函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合的充要條件是，
由①及x₁＜0＜x₂可得-1＜x₁＜0，
由①②得=．
∵函數(shù)，y=-ln（2x₁+2）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞減，
∴a（x₁）=在（-1，0）上單調(diào)遞減，且x₁→-1時(shí)，ln（2x₁+2）→-∞，即-ln（2x₁+2）→+∞，也即a（x₁）→+∞．
x₁→0，a（x₁）→-1-ln2．
∴a的取值范圍是（-1-ln2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式的性質(zhì)、直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理論證能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．