Question

 

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；

（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。

 

 

Answer 1

【答案】

 [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。

（1）由題意知：，

，

化簡(jiǎn)，得：

，

當(dāng)時(shí)，，適合情形。

故所求

（2）（方法一）

， 恒成立。

  又，，

故，即的最大值為。

（方法二）由及，得，。

于是，對(duì)滿足題設(shè)的，，有

。

所以的最大值。

另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。

于是，只要，即當(dāng)時(shí)，。

所以滿足條件的，從而。

因此的最大值為。