Question

【題目】設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ，分段求單調(diào)區(qū)間即可；

（2）討論和兩種情況，其中當(dāng)時(shí)， ，分別求兩端的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，

①當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

綜上所述， 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）（1）當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)的零點(diǎn)為；

（2）當(dāng)時(shí)， ，

故當(dāng)時(shí)， ，二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為，

∴在上單調(diào)遞增， ；

當(dāng)時(shí)， ，二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

∴的極大值為，

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸只有唯一交點(diǎn)，即唯一零點(diǎn)，

由解之得，函數(shù)的零點(diǎn)為或（舍去）；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩個(gè)零點(diǎn)，分別為和；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，

由，解得， ，

∴函數(shù)的零點(diǎn)為和，

綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為0；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)為；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)2和；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)和.