Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²﹣2ln（1+x）．
（1）求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)時(shí)，不等式f （x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，+∞）．
∵，
由f '（x）＞0，得x＞0；
由f '（x）＜0，得﹣1＜x＜0．
∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），遞減區(qū)間是（﹣1，0）．
（2）∵由，得
x=0，x=﹣2（舍去）
由（1）知f（x）在上遞減，在[0，e﹣1]上遞增．
又，f（e﹣1）=e²﹣2，且．
∴當(dāng)時(shí)，f（x）的最大值為e²﹣2．
故當(dāng)m＞e²﹣2時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立．
（3）方程f（x）=x²+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0．
記g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x），
∵，
由g'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．
由g'（x）＜0，得﹣1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．
為使方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
于是有
∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．