Question

對于函數f（x）=

a+2

2x+1

（x∈R）．
（1）判斷f（x）在R上的單調性用定義證明；
（2）在a=1的條件下，解不等式f（2t+1）≤f（t-5）．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先判斷函數f（x）的單調性，再利用函數單調性的定義的步驟：取值、作差、變形、定號、下結論進行證明，需要對a分類討論判斷出符號；
（2）由（1）得到函數的單調性，利用函數單調性的定義將不等式轉化為關于x的不等式，再求出解集．

解答： 解：（1）當a＜-2時，a+2＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函數，
當a＞-2時，a+2＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在R上是減函數，
當a=-2時，a+2=0，即f（x₁）-f（x₂）=0，則f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上沒有單調性；
證明如下：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

a+2

2x1+1

-

a+2

2x2+1

=（a+2）

2x2+1-(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=（a+2）

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因為x₁＜x₂，所以2x2＞2x1＞0，則

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
當a＜-2時，a+2＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函數，
當a＞-2時，a+2＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在R上是減函數，
當a=-2時，a+2=0，即f（x₁）-f（x₂）=0，則f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上沒有單調性；
（2）由（1）得，當a=1時f（x）在R上是減函數，
所以不等式f（2t+1）≤f（t-5）等價于2t+1≥t-5，解得t≥-6，
所以不等式的解集是[-6，+∞）．

點評：本題考查函數的單調性的定義，以及利用單調性的定義的步驟：取值、作差、變形、定號、下結論證明，考查分類討論思想．