Question

用三塊等寬的長方形木板,做成一個斷面為梯形的水槽(如下圖).問斜角φ為多大時,水槽的截面積最大?并求出最大截面積.

Answer 1

思路分析：借助圖形的特征,合理選擇條件間的聯(lián)系方式,構造相應的函數(shù)關系,通過求導的方法或其他方法求出函數(shù)的最大值.

解：設木板的寬為a,水槽的高為h,截面積為S,

則S=(a+a+2acosφ)h=

(2a+2acosφ)·asinφ,

即S=a²(1+cosφ)sinφ(0＜φ＜).

S′=a²［-sin²φ+(1+cosφ)cosφ］=a²［-(1-cos²φ)+cosφ+cos²φ］

=a²(2cosφ-1)(cosφ+1).

令S′=0,得cosφ=,cosφ=-1(不合題意,舍去).

故在(0,)內(nèi),只取φ=.

所以φ=時,水槽的截面積最大,它的值為

S=a²(1+cos)sin=a².

答：φ為時,截面積最大,最大截面積為a².

    方法歸納 解決實際問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù),把“問題情景”譯為數(shù)學語言,找出問題的主要關系,并把問題的關系近似化、形式化,抽象成數(shù)學問題,再劃歸為常規(guī)問題,選擇合適的數(shù)學方法求解.