Question

18．已知直線l過點P（3，2），且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標原點，則△OAB面積的最小值為12，此時，直線l的方程為2x+3y-12=0．

Answer 1

分析 設直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，a和b為正數(shù)，可得$\frac{3}{a}$+$\frac{2}$=1，由基本不等式可得ab≥24，由等號成立的條件可得直線方程．

解答 解：由題意設直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，其中a和b為正數(shù)，
∵直線l過點P（3，2），∴$\frac{3}{a}$+$\frac{2}$=1，
∴1=$\frac{3}{a}$+$\frac{2}$≥2$\sqrt{\frac{3}{a}•\frac{2}}$=2$\sqrt{\frac{6}{ab}}$，∴ab≥24，
當且僅當$\frac{3}{a}$=$\frac{2}$即a=6且b=4時取等號，
∴△OAB面積S=$\frac{1}{2}ab$≥12，即最小值為12，
此時直線方程為$\frac{x}{6}$+$\frac{y}{4}$=1，
化為一般式可得2x+3y-12=0；
故答案為：12；2x+3y-12=0

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及直線的截距式方程和三角形的面積，屬基礎題．