Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]且函數(shù)g（x）=2[f（x）]²-f（x）-m．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)m∈[-$\frac{1}{8}$，3]，討論函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)零點(diǎn)的和．

Answer 1

分析 （1）由m=0和條件化簡(jiǎn)方程g（x）=0，求出f（x），由x的范圍求出2x+$\frac{π}{3}$的范圍，由正弦函數(shù)值求出函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)；
（2）設(shè)t=f（x），由（1）和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出t的范圍，代入原函數(shù)化簡(jiǎn)后化為一元二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的值域，結(jié)合m的范圍對(duì)m分類(lèi)討論，由函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系分別判斷出函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)零點(diǎn)的和．

解答 解：（1）由m=0得，g（x）=2[f（x）]²-f（x），
由g（x）=2[f（x）]²-f（x）=0得，f（x）=0或f（x）=$\frac{1}{2}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）=0或sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[0，2π]，
則2x+$\frac{π}{3}$=0或2x+$\frac{π}{3}$=2π或2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$或2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
解得x=$-\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$或$-\frac{π}{12}$或$\frac{π}{4}$，
∴函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)是$-\frac{π}{6}$、$\frac{5π}{6}$、$-\frac{π}{12}$、$\frac{π}{4}$；
（2）設(shè)t=f（x），由（1）知，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，2π]，
則f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的值域是[-1，1]，即t∈[-1，1]，
代入g（x）可得，y=2t²-t-m，設(shè)y=2t²-t=2（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∵t∈[-1，1]，
∴y=2（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$∈[-$\frac{1}{8}$，3]，且當(dāng)t=1時(shí)y=1，
又m∈[-$\frac{1}{8}$，3]，分兩種情況，
當(dāng)m=-$\frac{1}{8}$或1＜m≤3時(shí)，函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，
當(dāng)-$\frac{1}{8}$＜m≤1時(shí)，函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2，且兩個(gè)零點(diǎn)之和是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)、一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，考查換元法、分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力．