Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）折b_n=log₂a_n（neN^*），試求數(shù)列（$\frac{1}{_{n•_{n+1}}}$）的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，
∴2a₂+2=$\frac{{a}_{2}}{2}$+2a₂，
解得a₂=4．
∴a_n=${a}_{2}•{2}^{n-2}$=4•2^n-2=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n，
$\frac{1}{_{n•_{n+1}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．