Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{|x|}$，關于x的方程f²（x）-2af（x）+a-1=0（m∈R）有四個相異的實數(shù)根，則a的取值范圍是（$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，+∞）．

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）表示為分段函數(shù)形式，判斷函數(shù)的單調性和極值，利用換元法將方程轉化為一元二次方程，利用一元二次函數(shù)根與系數(shù)之間的關系進行求解即可．

解答 解：當x＞0時，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當x＞1時，f′（x）＞0，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，則當x=1時 函數(shù)取得極小值f（1）=e，
當x＜0時，f（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，函數(shù)的導數(shù)f′（x）=-$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，此時f′（x）＞0恒成立，
此時函數(shù)為增函數(shù)，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設t=f（x），則t＞e時，t=f（x）有3個根，
當t=e時，t=f（x）有2個根
當0＜t＜e時，t=f（x）有1個根，
當t≤0時，t=f（x）有0個根，
則f²（x）-2af（x）+a-1=0（m∈R）有四個相異的實數(shù)根，
等價為t²-2at+a-1=0（m∈R）有2個相異的實數(shù)根，
其中0＜t＜e，t＞e，
設h（t）=t²-2at+a-1，
則$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＞0}\\{h（e）＜0}\\{-\frac{-2a}{2}=a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{{e}^{2}-2ae+a-1＜0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＞\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}}\end{array}\right.$，
即a＞$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，
故答案為：（$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法轉化為一元二次函數(shù)，利用數(shù)形結合以及根與系數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．