Question

已知函數f（x）=x²+alnx（a為實數），函數y=g（x）是函數y=f（x）的導函數．
（1）求函數y=g（x）的單調區(qū)間；
（2）當函數y=g（x）最小值為4時，求函數y=f（x）解析式．

Answer 1

分析：（1）先對函數y=g（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據g′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，g′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，即可得到答案．
（2）由（1）知可得g（x）的最小值，從而列出方程即得：∴a=2，故f（x）=x²+2lnx．

解答：解：∵f′(x)=2x+

a

x

，∴g(x)=2x+

a

x

（1）∵g′(x)=2-

a

x2

①當a＜0時，g'（x）＞0恒成立，∴函數g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）
②當a＞0時，有下表

x	（0， 2a 2 ）	2a 2	（ 2a 2 ，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	減	極小值	增

∴函數g（x）的單調遞增區(qū)間為(

2a

2

，+∞)；
函數g（x）的單調遞減區(qū)間為（0，

2a

2

）
（2）由（1）知g(x)min=g(

2a

2

)=

2a

+

2a

=4
∴a=2，故f（x）=x²+2lnx

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、導數在最大值、最小值問題中的應用等基礎知識，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．