Question

如圖，等腰梯形ABCD的三邊AB，BC，CD分別與函數(shù)y=-

1

2

x2+2，x∈[-2，2]的圖象切于點(diǎn)P，Q，R．求梯形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析：設(shè)梯形ABCD的面積為s，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，-

1

2

t2+2)(0＜t≤2)，我們易求出直線AB的方程，進(jìn)而求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到梯形的上底、下底及高，代入梯形面積公式，利用基本不等式求出最值即可得到答案．

解答：解：設(shè)梯形ABCD的面積為s，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，-

1

2

t2+2)(0＜t≤2)．
由題意得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2），直線BC的方程為y=2．
∵y=-

1

2

x2+2，∴y'=-x∴y'|_x=t=-t…（3分）
∴直線AB的方程為y-(-

1

2

t2+2)=-t(x-t)，
即：y=-tx+

1

2

t2+2…（5分）
令y=0得，x=

t2+4

2t

，∴A(

t2+4

2t

，0)．
令y=2得，x=

1

2

t∴B(

1

2

t，2)∴S=

1

2

×(

1

2

t+

t2+4

2t

)×2×2=2(t+

2

t

)≥4

2

…（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

t

，即t=

2

時(shí)，取“=”且

2

∈(0，2]，∴t=

2

時(shí)，S有最小值為4

2

．∴梯形ABCD的面積的最小值為4

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)與直線的斜率，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出過(guò)切點(diǎn)P的切線方程，是解答本題關(guān)鍵．