Question

已知：三棱錐P-ABC，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．
（1）求證：PA⊥平面ABC；
（2）當(dāng)E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）在平面ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，證明DF⊥PA，DG⊥PA，利用線面垂直的判定，可得PA⊥平面ABC；
（2）連結(jié)BE并延長交PC于H，證明PC⊥平面ABE，AB⊥平面PAC，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）如圖所示，在平面ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于F．
∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC．
又PA?平面PAC，∴DF⊥PA．
作DG⊥AB于G，同理可證：DG⊥PA．
∵DG、DF都在平面ABC內(nèi)且DG∩DF=D，
∴PA⊥平面ABC；
（2）連結(jié)BE并延長交PC于H，
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH．
又已知AE是平面PBC的垂線，PC?平面PBC，
∴PC⊥AE．
又BH∩AE=E，∴PC⊥平面ABE．
又AB?平面ABE，∴PC⊥AB．
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB．
又PC∩PA=P，∴AB⊥平面PAC，
又AC?平面PAC，∴AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形．

點評：本題考查線面垂直的判定，考查面面垂直的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．